Question

数列{a_n}中，数列{a_n•a_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列．
（Ⅰ）求使a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3成立的q的取值范围；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前2n项的和S_2n．

Answer

（ I）由题意可知，an+1an+2=anan+1q，an+2an+3=anan+1q2，结合已知anan+1+an+1an+2＞an+2an+3，代入等比数列的通项，可求q的范围
（ II）由数列{an•an+1}是公比为q的等比数列，得，，则数列{an}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，结合等比数列的求和公式，需要对q=1和q≠1两种情况讨论，分别利用分组求和可求
【解析】
（ I）∵数列{an•an+1}是公比为q的等比数列，
∴an+1an+2=anan+1q，an+2an+3=anan+1q2，
由anan+1+an+1an+2＞an+2an+3得anan+1+anan+1q＞anan+1q2
∴1+q＞q2，即q2-q-1＜0（q＞0），
解得．（4分）
（ II）由数列{an•an+1}是公比为q的等比数列，得，
这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，（8分）
又a1=1，a2=2，
∴当q≠1时，S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n
=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+a6+…+a2n）
=，（10分）
当q=1时，S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n
=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+a6+…+a2n）
=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n…（12分）