Question

已知过椭圆右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦AB的中点；又函数f（x）=asinx+3bcosx图象的一条对称轴方程是，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e与直线ON的斜率；
（Ⅱ）对于任意一点M∈C，总有等式成立，求证：λ²+μ²为定值．

Answer

（I）根据函数图象的一条对称轴方程是，得，取得，，整理得a与b的关系式，从而得出椭圆C的离心率；又椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得P直线ON的斜率；
（II）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量坐标运算得到：x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，又M∈C，得：λ（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2结合（I）中方程根与系数的关系最后化简得：λ2+μ2为定值．
【解析】
（I）因为函数图象的一条对称轴方程是，
所以对任意的实数x都有，
取得，，整理得，于是椭圆C的离心率，（3分）
由知，椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2，①
又椭圆C的右焦点F为，直线AB的方程为，②
②代入①展开整理得：，③
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x，y），
则x1，x2是方程③的两个不等的实数根，由韦达定理得，

∴x=，，于是直线ON的斜率．
此问用点差法也可（8分）
（II）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量坐标运算知（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
∴x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，（10分）
又M∈C，代入①式得：（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2，
展开整理得：λ（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2，④（10分）
（12分）
又A、B两点在椭圆上，故有x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2
代入④式化简得：λ2+μ2=1（14分）