Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）+f（-x+4）=0，当x＜2时，f′（x）＜0，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则 f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒正
B．恒负
C．可正可负
D．可能等于0

Answer

由题设中条件f（x）+f（4-x）=0可得出函数图象关于点（2，0）为中心对称，由当x＜2时，f′（x）＜0可得出x＜2时，由此可必出函数的单调性利用单调性，再结合图象比较大小即可选出正确答案．
【解析】
从f（x）+f（4-x）=0即f（x）=-f（4-x），
则f（x）图象关于点（2，0）为中心对称，
并且当x＜2时，函数f（x）为减函数，
做草图如图示：
不妨假设x1＜x2，由x1+x2＜4，
得x1-2+x2-2＜0，
又（x1-2）•（x2-2）＜0，
得（x1-2）与（x2-2）异号，
则x1，x2分居于点（2，0）的两侧，
根据x1＜x2，于是有|x1-2|＞|x2-2|，
根据中心对称函数为减函数时，距离对称中心越远，函数绝对值越大，
则有|f（x1）|＞|f（x2）|，
结合图示得f（x1）＞-f（x2），
则f（x1）+f（x2）＞0，
故选A．