Question

在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点O与点A_n（n，n+3），若用f（n）表示线段OA_n上除端点外的整点个数，则f（1）+f（2）+…+f（2010）=    ．

Answer

因为线段OAn斜率k=，方程为y=x+，所以n为3的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．由此入手能够求出f（1）+f（2）+…+f（2010）的值．
【解析】
∵线段OAn斜率k=，方程为y=x+，
∴n为3的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．
∴当n=3，6，9，12，…，2010时，线段OAn上有除端点外的2个整点．
数列3，6，9，12，…，2010是首项为3，公差为3的等差数列，其通项公式为am=3m．
由3m=2010知m=670，∴f（1）+f（2）+…+f（2010）=2×670=1340．