Question

已知函数，其中t为常数，且t＞0．
（Ⅰ）求函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），且设，证明：对任意的x＞0，，n=1，2，…．

Answer

（Ⅰ）由，知．由此能求出函数ft（x）在（0，+∞）上的最大值． 
（Ⅱ）由Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3），知an=an-1+2n-1（n≥3），故an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+a2=2n+1．所以，由此能够证明对任意的x＞0，不等式成立．
（Ⅰ）【解析】
∵，
∴…（3分）
∵x＞0，
∴当x＜t时，f't（x）＞0；
当x＞t时，f't（x）＜0，
∴当x=t时，ft（x）取得最大值． …（6分）
（Ⅱ）证明：由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3），
∴an=an-1+2n-1（n≥3）…（5分）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+a2
=2n-1+2n-2+…+22+5
=2n-1+2n-2+…+22+2+1+2
=2n+1（n≥3）…（8分）
检验知n=1、2时，结论也成立，
故an=2n+1．…（9分）
所以，
令，
则，
由（Ⅰ）可知，．
∴对任意的x＞0，不等式成立．…（13分）