Question

已知椭圆的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF₁上一点，若，（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C离心率e的最大值；
（Ⅱ）如果离心率e取（Ⅰ）中求得的最大值，已知b²=2，点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）根据题意，△F1OH与△F1PF2相似，所以，|PF2|=，|PF1|=2a-，从而可求λ=，于是有，而λ∈[]，可求椭圆C离心率e的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道椭圆C离心率e的最大值是，椭圆C的方程为，直线l的其方程为y=k（x+1），N（0，k）设Q（x1，y1），由可得（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1），求得x1，y1，代入椭圆方程可求得k．
【解析】
（Ⅰ）由题意知PF2⊥F1F2，OH⊥PF1
则有△F1OH与△F1PF2相似，所以…（2分）
设F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，P（c，y1），则有，解得，
所以根据椭圆的定义得：…（4分）
∴，即，所以…（6分）
显然在上是单调减函数，当时，e2取最大值．
所以椭圆C离心率e的最大值是…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，解得a2=4，
∴椭圆C的方程为…（10分）
由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，则其方程为y=k（x+1），N（0，k）
设Q（x1，y1），由于，所以有（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1）
∴…（12分）
又Q是椭圆C上的一点，则，解得k=±4，
所以直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0…（14分）