Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a₂=4，当n≥3时，S_n+S_n-2=2S_n-1+2
（I ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（II ）设数列{b_n}对任意的n∈N⁺，均有an=b₁•S₁+b₂•S₂+…+b_nS_n成立，求b₁+b₂+…+b₂₀₁₁的值．

Answer

（I ）先把Sn+Sn-2=2Sn-1+2进行变形，整理得到an-an-1=2，再结合a2-a1=2即可得到数列{an}是等差数列；
（II ）先由an=b1•S1+b2•S2+…+bnSn；得到an-1=b1•S1+b2•S2+…+bn-1Sn-1；进而求出2=bn•sn，再结合第一问的结论求出数列{bn}的通项，最后利用裂项求和即可得到结论．
【解析】
（I ）当n≥3时，Sn+Sn-2=2Sn-1+2，
整理得：Sn-Sn-1=Sn-1-sn-2+2；
∴an-an-1=2．
又a2-a1=2，
∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列．
∴an=2n．
（II ）∵an=b1•S1+b2•S2+…+bnSn；
当n≥2时，an-1=b1•S1+b2•S2+…+bn-1Sn-1；
由（1），（2）得
当n≥2时，
有2=bn•sn，即bn=，
又a1=b1•s1，∴b1=1．
∵sn==n（n+1）．
∴bn===2（）．
∴b1+b2+…+b2011的=2（1-+-+…+-）=2（1-）=．