Question

函数f（x）=x³-ax²+的极值点是x₁，x₂，函数g（x）=x-alnx的极值点是x，若x+x₁+x₂＜2．
（I ）求实数a的取值范围；
（II）若存在实数a，使得对∀x₃，x₄∈[1，m]，不等式f（x₃）≤g（x₄）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I ）由，x1，x2是方程的两个根，，x1+x2=a，由，（x＞0）．知当a≤0时，g′（x）＞0，函数无极值点．当a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；当x∈（a，+∞），g′（x）＞0，函数的极值点x=a．由此能求出实数a的取值范围．
（II）由，知g（x）在[1，m]上为增函数，故g（x）min=g（1）=1．导函数f′（x）的对称轴为x=，由此入手能够求出实数m的取值范围．
【解析】
（I ）∵函数f（x）=x3-ax2+的极值点是x1，x2，，
∴，x1，x2是方程的两个根，
∴，x1+x2=a，
∵g（x）=x-alnx的极值点是x，
∴，（x＞0）．
当a≤0时，g′（x）＞0，函数无极值点．
当a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；当x∈（a，+∞），g′（x）＞0，
函数的极值点x=a．
∵x+x1+x2＜2．
∴，
∴．
（II）∵，
∴g（x）在[1，m]上为增函数，
∴g（x）min=g（1）=1．
导函数f′（x）的对称轴为x=，，
∴x1，x2都是小于1的正数，
∵f′（x）=（x-x1）（x-x2），令x1＜x2，
∵，
∴f（x）在[1，m]上为增函数，
∴，
∴，
即-27m2a+18m3+4m≤0，
∵m＞1，令h（a）在（）为减函数，
∴h（1）＜0，即18m3-27m2+4m＜0，
解得，
∴．