Question

已知：F₁，F₂是椭圆的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F₁P对称的两条直线PA和PB分别交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）求P点坐标；
（Ⅱ）求直线AB的斜率．

Answer

（Ⅰ）设P（x，y）（x＞0，y＞0）由题意可得，由点P（x，y）在曲线上，可得，联立可求P
（Ⅱ）由（I）知PF1∥x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k（k＞0），则PB的直线方程为：，联立直线PB与椭圆方程，则可求，yA-yB=-k（xA-1）-k（xB-1）=，根据可求
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆方程为，
∴，设P（x，y）（x＞0，y＞0
则，
∴
∵点P（x，y）在曲线上，则
∴  
从而，得，则点P的坐标为（1，）；
（Ⅱ）由（1）知PF1∥x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k（k＞0），则PB的直线方程为：；
由得（2+k2）
设B（xB，yB）则=
同理可得，则；
yA-yB=-k（xA-1）-k（xB-1）=
所以：AB的斜率=．