Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，AD=PD=2，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点．
（I）求证：AP∥平面EFG；
（II）求平面GEF和平面DEF的夹角．

Answer

（I）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及向量AP和平面EFG的法向量的坐标，计算其数量积为0即可得到结论；
（II）分别求出两个平面的法向量，再直接代入向量的夹角计算公式即可得到答案．
【解析】
（I）如图，以D为原点，以DA，DC，DP为方向向量
建立空间直角坐标系D-XYZ
则P（0，0，2），C（0，2，0）G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），A（2，0，0）
∴=（-2，0，2），=（0，-1，0），=（1，1，-1）．
设平面EFG的法向量为=（x，y，z）⊂
∴即∴
 令x=1，
则=（1，0，1）．
∵•=1×（-2）+0×0+1×2=0，
∴
又AP不在平面EFG内，
∴AP∥平面EFG
（II）∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥BC
又PD⊥平面ABCD
∴AD⊥PD又PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD．
∴向量是平面PCD的一个法向量，=（2，0，0）
又由（I）知平面EFG的法向量=（1，0，1）．
∴cos＜，＞===．
∴二面角G-EF-D的平面角为45°．