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高中数学试题
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已知空间向量,,,O为坐标原点,给出以下结论:①以OA、OB为邻边的平行四边形O...
已知空间向量
,
,
,O为坐标原点,给出以下结论:①以OA、OB为邻边的平行四边形OACB中,当且仅当k=2时,
取得最小值;②当k=2时,到A和点B等距离的动点P(x,y,z)的轨迹方程为4x-2y-5=0,其轨迹是一条直线;③若
,则三棱锥O-ABP体积的最大值为
;④若
=(0,0,1),则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形的概率为
.其中,所有正确结论的应是
.
对于①,利用向量加法的平行四边形法则得出的坐标,从而求出2=16+(k+1)2,当且仅当k=-1时,取得最小值;故①错;对于②,当k=2时,到A和点B等距离的动点P(x,y,z)的轨迹方程为线段AB的中垂面,其轨迹是一个平面;故②错;③若,要使得三棱锥O-ABP体积的最大,只须S△OAB最大即可,下面求出其最大值即可.④若=(0,0,1),则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形,只须在三角形OAB中,∠OAB为直角即可,再探讨在什么情况下其是直角结合概率公式计算即得. 【解析】 =+=(1,k,0)+(3,1,0)=(4,k+1,0), ∴2=16+(k+1)2,当且仅当k=-1时,取得最小值;故①错; 对于②,当k=2时,到A和点B等距离的动点P(x,y,z)的轨迹方程为线段AB的中垂面,其轨迹是一个平面;故②错; ③若,要使得三棱锥O-ABP体积的最大, 由于三棱锥O-ABP体积=×||×S△OAB=S△OAB, 故只须S△OAB最大即可, 在xOy平面内考虑,此时A(1,2),cos∠AOB===,∴∠AOB=45°. S△OAB最大=×||×||sin∠AOB=××sin45°=.故错; ④若=(0,0,1),则要使得三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形, 只须在三角形OAB中,∠OAB为直角即可, 如图,由于点A只能在M,N,S,P,Q五点取得,有5种取法, 而使得∠OAB为直角的点是M,Q,有2种取法, 则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形的概为.正确. 其中,所有正确结论的应是④. 故答案为:④.
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考点分析:
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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