Question

已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜），且f（）=-A．
（I）求φ的值；
（Ⅱ）若f（α）=，f（β+）=且，求cos（2α+2β-）的值．

Answer

（I）通过f（）=-A，结合|φ|＜直接求出φ的值；
（Ⅱ）利用（I）求出函数的表达式，通过f（α）=，求出sin（2α-），cos（2α-），利用f（β+）=且，求出sin2β，cos2β的值，然后利用两角和的余弦函数求cos[（2α-）+2β]的值．
【解析】
（I）由题意，得f（）=-A⇒Asin（2×+φ）=-A，
∴sin（+φ）=-1，
∴+φ=2kπ+，k∈Z
∵|φ|＜，
∴φ=-．
（Ⅱ）由（I）可知，函数f（x）=Asin（2x-），
∵f（α）=∴Asin（2α-）=，
∴sin（2α-）=，
又，
∴，
∴cos（2α-）=，
又f（）=A，
∴Asin（2β+）=，
∴sin2β=，
∵，
∴，
∴cos2β=，
∴cos（2α+2β-）=cos（2α-）cos2β-sin（2α）sin2β
=
=．