Question

已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=，其中x∈R
（I）当时，若函数为R上的连续函数，求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式g（x₁）＜f（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（I）由连续的定义可知，函数F（x）在x=2处的极限存在且极限与F（2）的值相等，可求a，利用导数判断函数的单调性即可
（II）对任意x1，x2∈[-1，2]，g（x1）＜f（x2）恒成立⇔g（x）max＜f（x）min，x∈[-1，2]，利用导数分别求解函数g（x）的最大值与f（x）的最小值，从而可求b的范围
【解析】
（I）当时，函数F（x）为R上的连续函数，
∴
∴a=8
∵f′（x）=-x2+2x=-x（x-2）令f′（x）＞0，0＜x＜2
∴当x≤2时，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增．
又，
当x∈（2，+∞时，g′（x）＜0恒成立，
∴当x＞2时，函数g（x）在（2，+∞）上单调递减．
综上可知，函数F（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（-∞，0），（2，+∞）
（Ⅱ）对任意x1，x2∈[-1，2]，f（x1）＜f（x2）恒成立
g（x）max＜f（x）min，x∈[-1，2]
∵a=-1
∴
此时g′（x）＞0即-x2+2x+1＞0
∴
当x∈[-1，2]时，函数g（x）在[-1，1-]上单调递减，在上单调递增．
而
∴当x∈[-1，2]时，函数g（x）的最大值为．
结合（I）中函数f（x）的单调性可知：当x∈[-1，2]时，f（x）min=f（0）=b
∴g（x）max＜f（x）min
∴
即实数b的取值范围为b