Question

在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的斜边BC恰在x轴上，点B（-2，0），C（2，0）且AD为BC边上的高．
（I）求AD中点G的轨迹方程；
（Ⅱ）若一直线与（I）中G的轨迹交于两不同点M、N，且线段MN恰以点（-1，）为中点，求直线MN的方程；
（Ⅲ）若过点（1，0）的直线l与（I）中G的轨迹交于两不同点P、Q试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）设G（x，y），则由，代入可求中点G的轨迹方程
（Ⅱ由点（-1，）在椭圆内部，可得直线MN与椭圆必有公共点，由，两式相减，结合方程的根与系数关系可求直线MN的斜率k，从而可求直线直线MN的方程
（Ⅲ）假定存在定点E（m，0），使恒为定值λ，由轨迹方程中的y≠0，故直线l不可能为x轴，可设直线l的方程为x=ky+1且设点P（x3，y3），Q（x4，y4），联立x=ky+1代入（y≠0），由方程的根与系数关系可求，则，代入可求，若存在定点E（m，0）使为定值（λ与k值无关），则必有，从而 可求
【解析】
（I）设G（x，y），则A（x，2y）而B（-2，0），C（2，0）
∴，．
由
∴（y≠0），即为中点G的轨迹方程
（Ⅱ∵点（-1，）在椭圆内部，
∴直线MN与椭圆必有公共点
设点M（x1，y1），N（x2，y2），
由已知x1≠x2，则有
两式相减，得=-（y1-y2）（y1+y2）
而
∴直线MN的斜率k=1
∴直线MN的方程为4x-4y+5=0
（Ⅲ）假定存在定点E（m，0），使恒为定值λ
由于轨迹方程中的y≠0，故直线l不可能为x轴
于是可设直线l的方程为x=ky+1且设点P（x3，y3），Q（x4，y4）
将x=ky+1代入（y≠0）得
（k2+4）y2+2ky-3=0．
显然△=4k2+12（k2+8）＞0
∴
∵，
则
=（1+k2）y3y4
=
若存在定点E（m，0）使为定值（λ与k值无关），则必有
∴
∴在x轴上存在定点E（），恒为定值