Question

M为△ABC内一点，过点M的一直线交AB边于P，交AC边于点Q，且满足“”那么M一定是△ABC的（ ）
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心

Answer

先考察两种特殊情形：当P与B重合时，当Q与C重合时，直线BM和CM都过三角形某一边的中点，再根据三角形中线段长度之间的等量关系判断出直线AM过BC边中点F，从而得出正确答案．
【解析】
∵P为AB边上（除A外）的任意一点，所以当P与B重合时，
可得，
∴，
此时Q为AC边中点，
即直线BM过AC边中点．
同理，因为Q为AC边上（除A外）的任意一点
∴当Q与C重合时，可得，，
∴，此时P为AB边中点，
即直线CM过AB边中点；
设D为AC边中点，E为AB边中点，连接ED，直线AM分别交ED、BC于G、F，
∵ED是△ABC的一条中位线，
∴
∵，
∴，
∴BF=FC
∵BF=FC，
∴F为BC边上中点，因为直线BM过AC边中点D，直线CM过AB边中点E，直线AM过BC边中点F，
∴M为△ABC的重心．
故选A．