Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A₁，AC=AB=，∠CAA₁=∠BAA₁=135°．
（1）求∠BAC的大小；
（2）若底面△ABC的重心为G，侧棱AA₁=4，求GC₁与平面A₁B₁C₁所成角的大小．

Answer

（1）作CO⊥AA1交AA1的延长线于点O，连接BO，则CO⊥平面ABB1A1，先证△OAC≌△BAO，则BO⊥AA1，根据公式cos∠CAB=cos∠OAC•cos∠OAB可求出∠CAB的大小；
（2）以O为坐标原点，OB、OA、OC分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，求出向量和平面A1B1C1的法向量，然后根据cos＜，＞=，从而求出GC1与平面A1B1C1所成角的大小．
【解析】
作CO⊥AA1交AA1的延长线于点O，连接BO，则CO⊥平面ABB1A1
根据△OAC≌△BAO，所以BO⊥AA1，
（1）由cos∠CAB=cos∠OAC•cos∠OAB
知cos∠CAB=coa245°=
∴∠CAB=60°
（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz
则A（0，1，0），B（1，0，0），C（0，0，1）
∴G（，，），B1（1，4，0），A1（0，5，0），C1（0，4，1）
∴=（-，，）
设平面A1B1C1的法向量为=（x，y，z）
由⇒x=y=z
取n=（1，1，1）
∵cos＜，＞=
∴GC1与平面A1B1C1所成角的大小为-arccos，即arcsin．