Question

过抛物线x²=2y上两点A（-1，）、B（2，2）分别作抛物线的切线，两条切线交于点M．
（1）求证：∠BAM=∠BMA；
（2）记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C，F₁、F₂为C的两个焦点，B₁、B₂为C的虚轴的两个端点，过点B₂作直线PQ分别交C的两支于P、Q，当∈（0，4]时，求直线PQ的斜率k的取值范围．

Answer

（1）由y=x2，知y'=x，切于点A（-1，）的切线方程为y-=-（x+1），切于点B（2，2）的切线方程为y-2=2（x-2），联立解得M（，-1），由|BA|=|BM|，能够证明∠BAM=∠BMA．
（2）设双曲线方程为mx2-ny2=1，由题意，知m-n=1且4m-4n=1，故m=，n=1，双曲线方程为x2-y2=1．设B1（0，1），B2（0，-1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），故=x1x2+1-（y1+y2）+y1y2∈（0，4]，设直线PQ的方程为y=kx-1（k必存在），再由根的判别式和韦达定理能求出直线PQ的斜率k的取值范围．
【解析】
（1）∵y=x2，
∴y'=x，
切于点A（-1，）的切线方程为y-=-（x+1），
切于点B（2，2）的切线方程为y-2=2（x-2），
联立解得M（，-1），
∵|BA|=|BM|，
∴∠BAM=∠BMA．
（2）设双曲线方程为mx2-ny2=1，
由题意，有m-n=1且4m-4n=1，
解得m=，n=1，
∴双曲线方程为x2-y2=1，
不妨设B1（0，1），B2（0，-1），
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴=（-x1，1-y1），=（-x2，1-y2），
∴=x1x2+1-（y1+y2）+y1y2∈（0，4]．
设直线PQ的方程为y=kx-1（k必存在），
由，
得（-k2）x2+2kx-2=0
△=4k2+8（-k2）＞0
x1+x2=，x1x2=
=x1x2+1-（y1+y2）+y1y2
=x1x2+1-k（x1+x2）+2+k2x1x2-k（x1+x2）+1
将x1+x2=，x1x2=代入，
得=
=
=．
∴=∈（0，4]，
即0＜≤4，
∴，
由①得，或，
由②得k2≤1，或，
故k2≤1，或
解得k∈（-∞，-）∪[-1，1]∪（）．