Question

函数f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，x∈（0，1），n∈N^*．记y=f（x）的最小值为a_n，则a₁+a₂+…+a₆=    ．

Answer

当n=1时，f（x）=x+（1-x）=1，求出a1=1，n≥2时，f（x）=xn+（1-x）n，求导，令导数等于零，分析导数的符号，确定函数的最小值，求出an=，利用等比数列求和公式即可求得结果．
【解析】
n=1时，f（x）=x+（1-x）=1，
∴a1=1
n≥2时，f（x）=xn+（1-x）n，
f′（x）=nxn-1-n（1-x）n-1=n[xn-1-（1-x）n-1]=0
解得x=，
当x∈（0，），f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，）上是减函数，
当x∈（，1），f′（x）＞0，函数f（x）在区间（，1）上是增函数，
∴当x=时，函数f（x）的最小值为f（）=，
∴a1+a2+…+a6=1+++…+=
故答案为：．