Question

已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90？的二面角的大小；
（Ⅲ）求点A到平面BCD的距离的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据题意可得：DE⊥平面ACD，所以DE⊥AF，又AF⊥CD，再结合线面垂直的判定定理可得答案．
（Ⅱ）建立空间坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．
（Ⅲ）设AB=x，则x＞0，根据题中的条件可得：平面ABF⊥平面BCD．连BF，过A作AH⊥BF，垂足为H，则AH⊥平面BCD，再利用解三角形的有关知识可得：∴AH=，即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，
∴DE⊥平面ACD，
∵AF⊂平面ACD，
∴DE⊥AF．
又∵AC=AD=CD，F为CD中点，
∴AF⊥CD．
∵DE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，FC，FA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

∵AC=2，∴A（0，0，），设AB=x，
所以B（x，0，），C（0，1，0）
所以=（x，0，0），=（0，1，-），
设平面ABC的一个法向量为=（a，b，c），
则由⋅=0，⋅=0，得a=0，b=c，不妨取c=1，
则=（0，，1）．
∵AF⊥平面CDE，∴平面CDE的一个法向量为（0，0，）．
∴cos＜，＞==，
∴＜，＞=60°．
∴平面ABC与平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°．
（Ⅲ）设AB=x，则x＞0．∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．
又∵AF⊥CD，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，AB∩AF=A，
∴CD⊥平面ABF．

∵CD⊂平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD．
连BF，过A作AH⊥BF，垂足为H，则AH⊥平面BCD．
线段AH的长即为点A到平面BCD的距离．
在Rt△AFB中，AB=x，AF=CD=，
∴BF=，
∴AH==∈（0，）．