Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=DC=AB，AD⊥AB，AB∥CD，E，F，G分别为AD₁，A₁B₁，AB中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面B₁C₁G；
（Ⅱ）当二面角G-C₁B₁-C为45？时，求CD与平面C₁B₁G所成的角．

Answer

（I）取C1G的中点H，连EH，HB1，由直四棱柱的几何特征及已知中AB∥CD，DC=AB，E，F，G分别为AD1，A1B1，AB中点，易得EHB1F为平行四边形，进而EF∥B1H，由线面平行的判定定理即可得到EF∥平面B1C1G．
（Ⅱ）过G作GK⊥BC，垂足为K，由等腰三角形“三线合一”的性质可得K为BC中点，结合直棱柱的结构特征，我们可得BB1⊥平面ABCD，作KT⊥B1C1，垂足为T，连GT，则∠GTK为二面角G-B1C1-C的平面角，结合二面角G-C1B1-C为45°，设GK=a，则TK=a，CD=a，过C作CO⊥平面B1C1G，垂足为O，连DO，则DO为斜线DC在平面B1C1DG上的射影，∠CDO即为DC与平面B1C1G所成的角．解三角形CDO即可得到CD与平面C1B1G所成的角．
证明：（Ⅰ）取C1G的中点H，连EH，HB1．
∵AB∥CD，DC=AB，∴AGCD，
又由直棱柱得，D1C1DC，
∴AGC1D1，∴四边形AGC1D1为平行四边形．
∵AE=ED1，GH=HC1，∴EHAG．
∵FB1AG．∴EHB1F．∴EHB1F为平行四边形，∴EF∥B1H．
∵EF平面B1C1G，B1H⊂平面B1C1G，∴EF∥平面B1C1G．
（Ⅱ）由条件得DGBC，又∵BCB1C1，∴DGB1C1．∴平面B1C1G即为平面B1C1DG．
过G作GK⊥BC，垂足为K，∵GB=GC，∴K为BC中点，
∵ABCD-A1B1C1D1为直棱柱，∴BB1⊥平面ABCD．∴BB1⊥GK．
∴GK⊥平面BB1C1C，作KT⊥B1C1，
垂足为T，连GT，则GT⊥B1C1．
∴∠GTK为二面角G-B1C1-C的平面角，∴∠GTK=45°．
设GK=a，则TK=a，CD=a，过C作CO⊥平面B1C1G，
垂足为O，连DO，则DO为斜线DC在平面B1C1DG上的射影，
∴∠CDO即为DC与平面B1C1G所成的角．
∵CB∥DG，DG⊂平面B1C1G，CB 平面B1C1DG，
∴BC∥平面B1C1DG．
∴点C到平面B1C1G的距离CO与点K到平面B1C1G的距离相等，
∵B1C1⊥GT，B1C1⊥TK，
∴B1C1⊥平面GKT，
∵B1C1⊂平面B1C1DG，
∴平面GKT⊥平面B1C1DG，过K作KL⊥GT，垂足为L，则KL⊥平面B1C1DG．
在△GKT中GK=KT=a，
∴KL=a，即K到平面B1C1G的距离为a，
∴CO=a，在Rt△CDO中，CO=a，CD=a，
∴sin∠CDO=，∠CDO=30°，
即直线CD与平面B1C1G所成的角为30°