Question

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2010，且对任意的x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，则f（2010）=    ．

Answer

先由题目中的两个不等式推导出f（x+6）-f（x）的值，然后再用累加法和等比数列求和公式即可求解
【解析】
∵f（x+2）-f（x）≤3•2x
∴f（x+4）-f（x+2）≤3•2x+2=12•2x
f（x+6）-f（x+4）≤3•2x+4=48•2x
∴以上三式相加：f（x+6）-f（x）≤63•2x
又∵f（x+6）-f（x）≥63•2x
∴f（x+6）-f（x）=63•2x
∴f（6）-f（0）=63•2
f（12）-f（6）=63•26
f（18）-f（12）=63•212
…
f（2010）-f（2004）=63•22004
∴上式相加得：f（2010）-f（0）=63•2+63•26+63•212+…+63•22004
=63•（2+26+212+…+22004）
=63•
=22010-1
∴f（2010）=f（0）+22010-1=2010+22010-1=22010+2009
故答案为：22010+2009