Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且，
（1）求a_2k-1（k∈N^*）；
（2）数列{y_n}，{b_n}满足y=a_2n-1，b₁=y₁，且当n≥2时．证明当n≥2时，；
（3）在（2）的条件下，试比较与4的大小关系．

Answer

（1）设n=2k-1，利用条件可证数列（a2k-1}为等差数列．从而可求其通项；
（2）先求得，，然后再写一式，两式相减即可证得；
（3）先计算的当n=1时，；当n=2时，，再证当n≥3时，利用放缩法结合裂项求和即可的结论．
【解析】
（1）设n=2k-1
由
∴a2k+1-a2k-1=1
∴数列（a2k-1}为等差数列．
∴a2k-1=k（k∈N*）；        …（4分）
（2）证：y=a2n-1=n．当n≥2时，…①
∴…②…（6分）
②式减①式，有，得证．                …（8分）
（3）【解析】
当n=1时，；
当n=2时，，
由（2）知，当n≥2时，，
∴当n≥3时，=
∵，
∴     …（14分）