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已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(2,0). (1)求抛物线C的方程; (2)...

已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(2,0).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过N(-1,0)的直线l交曲C于A,B两点,又AB的中垂线交y轴于点D(0,t),求t的取值范围.
(1)设抛物线方程为y2=2px,则,由此能求出抛物线的方程. (2)直线l的方程是y=k(x+1),联立,消去x得ky2-8y+8k=0,再由根的判别别式和韦达定理能够推导出t的取值范围. 【解析】 (1)设抛物线方程为y2=2px,则,∴p=4, 所以,抛物线的方程是y2=8x.(4分) (2)由题设知,直线l的斜率存在,故设直线l的方程是y=k(x+1),联立,消去x得ky2-8y+8k=0,(6分) 显然k≠0,由△=64-32k2>0,得0<|k|<.(8分) 由韦达定理得,y1+y2=,y1y2=8, 所以,则AB中点E坐标是(),(10分) 由kDE-k=-1可得k3t-3k2-4=0, 所以,t=,令,则t=4x3+3x,其中|x|,(12分) 因为t′=12x2+3>0,所以函数t=4x3+3x是在(-),()上增函数. 所以,t的取值范围是(-)∪.(15分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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