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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E、G分别是AB、BB1、AC1的中...

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E、G分别是AB、BB1、AC1的中点,AB=BB1=2.
(Ⅰ)在棱B1C1上是否存在点F使GF∥DE?如果存在,试确定它的位置;如果不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求截面DEG与底面ABC所成锐二面角的正切值;
(Ⅲ)求B1到截面DEG的距离.

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(I)一般找线段的端点或线段的中点,即点F存在且为B1C1的中点. (II)建立平面直角坐标系并且设出相关点的坐标,求出两个平面的法向量,再根据两个向量的夹角转化为两个平面的夹角的余弦值,进而得到两个平面夹角的正弦值即可. (III)先求出平面的法向量,再求出平面的任意一个斜线所在的向量在法向量上的射影即可. 【解析】 (Ⅰ)点F存在且为B1C1的中点,连接AB1, ∵D,E,G分别是AB,BB1,AC1的中点, ∴DE∥AB1∥GF.               (Ⅱ)如图,以A为坐标原点,的方向分别作为y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则,; ∵D、E、G分别是AB、BB1、AC1的中点, ∴,,; 设平面DEG的法向量为, 由 得,解得x=0,y=-2z, 取z=1得; 又平面ABC的一个法向量为, 设截面DEG与底面ABC所成锐二面角为θ, 则, ∴,得tanθ=2. 故截面DEG与底面ABC所成锐二面角的正切值为2.                      (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面DEG的一个法向量为,; 设点B1到截面DEG的距离为d, 由向量的投影得, 故点B1到截面DEG的距离为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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