Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列b_n，b_n=f^-1（n）若对于任意n∈N^*都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反函数列”
（1）设函数f（x）=，若由函数f（x）确定的数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）已知正整数列{c_n}的前项和s_n=（c_n+）．写出S_n表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，当n≥2时，设d_n=，D_n是数列{d_n}的前n项和，且D_n＞log_a（1-2a）恒成立，求a的取值范围．

Answer

【解析】
（1）由f（x）=结合bn=f-1（n）若对于任意n∈N*都有bn=an求解，
（2）由正整数cn的前n项和则由通项与前n项和之间的关系求解，要注意分类讨论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d1=2，∴D1=2，则n≥2时，，由Dn是数列dn的前n项和有Dn=1+d2+…+dn用裂项相消法求解，再由Dn＞loga（1-2a）恒成立，即loga（1-2a）小于Dn的最小值，只要求得Dn的最小值即可．
【解析】
（1）由题意得

∵
∴P=-1∴

（2）∵正整数cn的前n项和
∴
解之得∴c1=1，s1=1
当n≥2时，cn=sn-sn-1
∴
∴
sn2-sn-12=n
∴sn-12-sn-22=n-1
sn-22-sn-22=n-2
s22-s12=2
以上各式累加，得∴，

（3）在（1）和（2）的条件下，d1=2∴D1=2
当n≥2时，设，由Dn是数列dn的前n项和
有Dn=1+d2+…+dn
=
=
综上
因为Dn＞loga（1-2a）恒成立，所以loga（1-2a）小于Dn的最小值，
显然Dn的最小值在n=1时取得，即[Dn]min=2
∴loga（1-2a）＜2
∴a满足的条件是
，∴loga（1-2a）＜2
解得