Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，BC=2AB=2PA．点M在侧棱PC上，且CM=2MP．
（I）求直线AM与平面PCD所成角的正弦值；
（II）求二面角B-PC-D的大小．

Answer

（1）要求直线AM与平面PCD所成角的正弦值则根据线面角的定义可知需过A向面PCD作垂线找到AM在面PCD上的射影则其与射影的夹角即为直线AM与平面PCD所成的角而根据四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD可得CD⊥面PAD因此只需过A作AN⊥PD于N，连接MN可得AN⊥面PCD即∠AMN为直线AM与平面PCD所成的角然后再解RT△PAD求出∠AMN的正弦值即可．
（2）可过B作BE⊥平面PCD于E，过点B作BF⊥PC于F，连接EF，则根据三垂线定理可得EF⊥PC则根据二面角的定义再结合图形的特征可知∠BFE为二面角B-PC-D的平面角的补角然后在解三角形BFE求出∠BFE即可得解．
（本小题满分12分）
【解析】
设BC=2AB=2PA=2．
（Ⅰ）过A作AN⊥PD于N，连接MN．
∵侧棱PA⊥面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD．
∴CD⊥AN．
∴AN⊥面PCD．
则∠AMN为直线AM与平面PCD所成的角． …（3分）
在△PAM中，AM==1．
在RT△PAD中，求得AN=．∴sin∠AMN==．…（6分）
（Ⅱ）过B作BE⊥平面PCD于E，过点B作BF⊥PC于F．
连接EF，则EF⊥PC．
∴∠BFE为二面角B-PC-D的平面角的补角． …（8分）
在RT△PBC中，求得BF=．
由VP-BCD=VD-PAC，得，
解得BE=．…（10分）
在RT△AEF中，求得sin∠BFE=．
所以所求二面角的大小为．…（12分）