Question

已知正实数数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3对于一切n∈N^*成立．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设项和，求使T_n＜c恒成立的最小正整数c．

Answer

（I）先求出数列的首项，然后根据当n≥2时，4Sn=an2+2an-3，则4Sn-1=an-12+2an-1-3，作差化简可得正数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，从而可求出其通项公式；
（II）根据数列{}通项公式的特点可知利用错位相消法进行求和，从而可求出使Tn＜c恒成立的最小正整数．
（本小题满分13分）
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，4S1=a12+2a1-3=4a1，得a12-2a1-3=0，
a1=3或a1=-1，由条件an＞0，所以a1=3．       …（2分）
当n≥2时，4Sn=an2+2an-3，则4Sn-1=an-12+2an-1-3
则4Sn-4Sn-1=an2+2an-3-（an-12+2an-1-3），
所以4an=an2+2an-an-12-2an-1，（an+an-1）（an-an-1-2）=0，…（4分）
由条件an+an-1＞0，所以an-an-1=2，…（5分）
故正数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以an=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），，…（7分）
∴Tn=+…+．…①
将上式两边同乘以，得Tn=+…+…②…（8分）
①-②，得∴Tn=++…+-=-．
所以Tn=5-＜5．…（10分）
又T1=，T2=，T3=，T4=＞4．  …（11分）
若Tn=5-＜c恒成立，
∴使Tn＜c恒成立的最小正整数c是5． …（13分）