Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，根据椭圆的几何性质得出2a+2c的值，又椭圆的离心率即可求得a，c，所以b=1，最后写出椭圆M的方程；
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．
【解析】
（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以，
又椭圆的离心率为，即，所以，…（2分）
所以a=3，．
所以b=1，椭圆M的方程为．…（3分）
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．
由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0，…（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有，．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过点C，所以 ．
由 ，
得 （x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（7分）
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得 （k2+1）y1y2+k（m-3）（y1+y2）+（m-3）2=0．
将 ①代入上式，解得 或m=3（舍）．…（8分）
所以，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=
则有=．…（10分）
设，则．
所以当时，S△ABC取得最大值．…（12分）