Question

已知椭圆的C两个焦点分别为F₁（0，-1），F₂（0，1），离心率，P是椭圆C在第一象限内的一点，且|PF₁|-|PF₂|=1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点P的坐标；
（3）若点Q是椭圆C上不同于P的另一点，问是否存在以PQ为直径的圆G过点F₂？若存在，求出圆G的方程，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意可得c=1，，b2=a2-12=3，从而可求椭圆的方程
（2）法一：由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4，联立|PF1|-|PF2|=1可求PF1，PF2结合F1F2=2，有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2
可得PF2⊥F1F2P的纵坐标为1，进而可求P的坐标
法二：由|PF1|-|PF2|=1得点P在双曲线的上支，从而可得P为椭圆与双曲线的交点，联立，可求
（3）设存在满足条件的圆，则PF2⊥QF2，设Q（s，t），则由题意可得可求Q
由或，，从而可得圆的方程
【解析】
（1）依题可设椭圆方程为
则，b2=a2-12=3-------------（2分）
故曲线C的方程为．-------------------（3分）
（2）法一：由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4-----（1分）
联立|PF1|-|PF2|=1得-------（2分）
又|F1F2|=2，有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2
∴PF2⊥F1F2
∴P的纵坐标为1，-------------------（3分）
把y=1代入得或（舍去）
∴-------------------（4分）
法二：由|PF1|-|PF2|=1得点P在以F1（0，-1），F2（0，1）为焦点，实轴长为1的双曲线的上支上，---------（1分）
双曲线的方程为-------------------（2分）
联立得------------------（3分）
因P在第一象限内，故∴-------------------（4分）
（3）设存在满足条件的圆，则PF2⊥QF2，设Q（s，t），则-------------------（1分）
得，得s=0-------------------（2分）
又，∴t=±2-------------------（3分）
∴Q（0，2）或Q（0，-2）-------------------（4分）
，∴，
∴圆G为：-------------（6分）
或，∴，∴圆G为：------------（7分）