Question

数列{a_n}是首项为a₁，公差为d的等差数列，若数列{a_n}中任意不同的两项之和仍是该数列的一项，则称该数列是“封闭数列”
（1）试写出一个不是“封闭数列”的等差数列的通项公式，并说明理由；
（2）求证：数列{a_n}为“封闭数列”的充分必要条件是存在整数m≥-1，使a₁=md．

Answer

（1）写出一个数列不是封闭数列的等差数列的通项公式，要利用条件中所给的任意不同的两项之和仍是该数列的一项进行验证，得到与事实矛盾的结果．
（2）要证明充分必要条件的问题，本题需要从两个方面来证明，一是证明充分性，二是证明必要性，证明时注意所取得数列的项来验证时，项要具有一般性．
解（1）如数列an=2n-7（n∈N*）不是“封闭数列”，---（1分）
∵a1=-5，a2=-3，∴a1+a2=-8，-------------------（2分）
依题，∃n∈N*，使an=-8--------------（3分）
即，--------------（4分）
这与n∈N*矛盾
所以数列an=2n-7（n∈N*）不是封闭数列；--------------（5分）
（2）证明：（必要性）若存在整数m≥-1，使a1=md，则任取等差数列的两项as，at（s≠t），
于是as+at=a1+（s-1）d+md+（t-1）d=a1+（s+m+t-2）d=as+m+t-1--------（2分）
由于s+t≥3，m≥-1，∴s+t+m-1∈N*为正整数，-------------------（3分）
∴as+m+t-1∈{an}，∴{an}是封闭数列------（4分）
（充分性）任取等差数列的两项as，at（s≠t），若存在ak使as+at=ak，
则2a1+（s+t-2）d=a1+（k-1）d⇒a1=（k-s-t+1）d--------------------（6分）
故存在m=k-s-t+1∈Z，使a1=md，--------------------（7分）
下面证明m≥-1．
当d=0时，显然成立．--------------------（8分）
对d≠0，若m＜-1，则取p=-m≥2，对不同的两项a1和ap，存在aq使a1+ap=aq，
即2md+（-m-1）d=md+（q-1）d⇒qd=0，这与q＞0，d≠0矛盾，
故存在整数m≥-1，使a1=md．--------------------------（9分）