Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC⊥CD，E是AA₁上的一点．
（1）求证：CD⊥平面ACE；
（2）若平面CBE交DD₁于点F，求证：EF∥AD．

Answer

（1）要证CD⊥ACE，只需证明CD垂直平面ACE内的两条相交直线AC与AA1即可．
（2）平面CBE交DD1于点F，证明EF∥AD，只需证明BC∥平面ADD1A1，EF∥BC，即可．
证明：（1）因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，所以AA1⊥平面ABCD，因为CD⊂平面ABCD，
所以AA1⊥CD，因为AC⊥DC，
AC⊂平面AEC，A1A∩AC=A，
所以CD⊥平面ACE
（2）因为AD∥BC，AD⊂平面ADD1A1，BC不在平面ADD1A1，所以BC∥平面ADD1A1，因为BC⊂平面BCE，
平面BCE∩平面ADD1A1=EF，所以EF∥BC，
因为AD∥BC，所以EF∥AD．