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在直角坐标系xOy中,椭圆manfen5.com 满分网的左、右焦点分别为F1、F2,点A为椭圆的左顶点,椭圆上的点P在第一象限,PF1⊥PF2,⊙O的方程为x2+y2=4
(1)求点P坐标,并判断直线PF2与⊙O的位置关系;
(2)是否存在不同于点A的定点B,对于⊙O上任意一点M,都有manfen5.com 满分网为常数,若存在,求所以满足条件的点B的坐标;若不存在,说明理由.
(1)利用PF1⊥PF2,以及点P在椭圆上联立即可求点P坐标以及直线PF2的方程,再利用圆心到直线的距离和半径相比即可判断直线PF2与⊙O的位置关系; (2)假设存在,代入为常数利用等式对所有的点M成立来求满足条件的点B的坐标. 【解析】 (1)设点P坐标(m,n),因为PF1⊥PF2,所以有=0故有⇒. 又因为点P在第一象限 所以P(,). 故=-2.直线PF2的方程为2x+y-2=0. 又因为(0,0)到直线PF2的距离d=2=r. 故直线PF2与⊙O的位置关系是相切. (2)设B(a,b),M(x,y),为常数,⇒(x-a)2+(y-b)2=k(x+3)2+ky2.又因为x2+y2=4. 所以有4-2ax-2by+a2+b2-4k-6kx-9k=0⇒x(-2a-6k)-2by+a2+b2+4-13k=0.对所有x,y都成立,所以 ⇒或 又因为定点B不同于点A,故所求点B为(-,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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