Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ．设
（1）求证：数列{b_n}是等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项的和
（3）设，求证：T_2n＜3．

Answer

（1）由a1=1，an+an+1=3n，得．由此能够证明数列{bn}是等比数列．
（2）由，得，所以an=，由此能求出数列{an}的前n项的和．
（3）==+＜+，由此入手能够证明T2n＜3．
证明：（1）由a1=1，an+an+1=3n，
得=，
即．
∴数列{bn}是首项为，公比为-1的等比数列．
【解析】
（2）由，
得，
=
Sn=[3+32+33+…+3n+（-1）+（-1）1+（-1）1+（-1）2+…+（-1）n-1]
=．
证明：（3）
=
=+
＜+
∵32n-1＞32n-1，（n∈N*），
∴，
∴
=
=3（1-）＜3．