Question

如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=，AC、BD相交于点O
求：（1）直线BD与直线PC所成的角；
（2）平面PBC与平面PAC所成的角．

Answer

（1）先根据条件得到OP⊥平面ABCD并求出OP=1；然后建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出，的坐标，通过计算其数量积即可得到结论．
（2）先求出两个平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可得到答案．
【解析】
（1）因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，
0为AC，BD交点，所以OP⊥平面ABCD．
因为AB=2，所以OA=，
因为PA=．
所以OP2=PA2-OA2=3-2=1，
所以OP=1．
如图以O为原点，AC，BD所在直线分别为X轴，Y轴，建立空间直角坐标系．
则A（，0，0），B（0，，0），C（-，0，0），D（0，-，0），P（0，0，1），
则=（-，0，-1），=（0，-2，0）．
因为=0．
所以直线BD与直线PC所成的角：90°．
（2）由（1）得BD⊥PC，又BD⊥AC，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PC∩AC=C，
所以BD⊥平面PAC，取平面PAC的一个法向量为=（0，-2，0）．
设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（-，-，0）．
由得，
不妨取=（1，-1，-），则cos，＞==，
可得向量与的夹角为60°．
所以平面PBC与平面PAC所成的角为60°．