Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2+（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的最大项；
（2）设b_n=，试确定实常数p，使得{b_n}为等比数列；
（3）设m，n，p∈N^*，m＜n＜p，问：数列{a_n}中是否存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）根据数列an}的通项公式可知随着n的增大而减小，即为递减数列，故可知a1为数列中的最大项，进而可得答案．
（2）把（1）中的an代入bn，根据等比数列的性质可知b2n+1-bnbn+2=0，把bn代入，进而可求得p．
（3）根据（1）中数列{an}的通项公式可分别求得am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列，则2an=am+ap，把am，an，ap代入整理可得关于m，n，p的关系式，再根据m＜n＜p判定等式是否成立．
解（1）由题意an=2+，随着n的增大而减小，所以{an}中的最大项为a1=4．
（2）bn===，若{bn}为等比数列，
则b2n+1-bnbn+2=0（n∈N*）所以[（2+p）3n+1+（2-p）]2-[{2+p）3n+（2-p）][（2+p）3n+2+（2-p）]=0（n∈N*），
化简得（4-p2）（2•3n+1-3n+2-3n）=0即-（4-p2）•3n•4=0，解得p=±2．
反之，当p=2时，bn=3n，{bn}是等比数列；当p=-2时，bn=1，{bn}也是等比数列．
所以，当且仅当p=±2时{bn}为等比数列．
（3）因为，，，
若存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列，则2an=am+ap，
所以=，
化简得3n（2×3p-n-3p-m-1）=1+3p-m-2×3n-m（*），
因为m，n，p∈N*，m＜n＜p，
所以p-m≥p-n+1，p-m≥n-m+1，
所以3p-m≥3p-n+1=3×3p-n，3p-m≥3n-m+1=3×3n-m，
（*）的左边≤3n（2×3p-n-3×3p-n-1）=3n（-3p-n-1）＜0，
右边≥1+3×3n-m-2×3n-m=1+3n-m＞0，所以（*）式不可能成立，
故数列{an}中不存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列．