Question

A．选修4-1几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．
求证：ED²=EB•EC．
B．矩阵与变换
已知矩阵A=，，求满足AX=B的二阶矩阵X．
C．选修4-4 参数方程与极坐标
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos（θ+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4-5 不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：a³+b³+c³+≥2．

Answer

A、由切割线定理可得 EA2=EB•EC，证明∠EAD=∠EDA，△EAD为等腰三角形，得EA=ED，从而ED2=EB•EC 成立．
B、设 X=，求出AX，再由AX=B，解方程组求得a、b、c、d的值，接口求得X．
C、把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，她们都表示圆，求出它们的圆心和半径，由弦长公式求出弦长AB的值．
D、利用基本不等式证明要证的不等式，注意检验等号成立的条件．
【解析】
A 由切割线定理可得 EA2=EB•EC．
再由同弧所对的圆周角等于该弧所对的弦切角可得∠ABC=∠CAE．
又AD是∠BAC的平分线，故有∠BAD=∠CAD．
再由∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠EDA=∠BAD+∠ABC 可得∠EAD=∠EDA．
故△EAD为等腰三角形，故有EA=ED，
∴ED2=EB•EC．
B 设 X=，则AX=]=．
又AX=B=[]，∴，解得 ，
故X=．
C 曲线ρ=1与  即 x2+y2=1，表示以O（0，0）为圆心，以1为半径的圆．
曲线ρ=2cos（θ+），即 ρ2=2ρ（- ），即+=1，
表示以A（，-）为圆心，以1为半径的圆．
把两圆的方程相减可得两圆的公共弦所在的直线方程为 x-y-1=0，
O到弦的距离等于=，由弦长公式求得线段AB的长为2=．
D 证明：因为a，b，c为正实数，所以a3+b3+c3≥3=3abc＞0，当且仅当a=b=c时，等号成立．
又3abc+≥2，当且仅当 3abc=时，等号成立．
所以，a3+b3+c3+≥2 ．