Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=AB=2，点E是AB中点，点M为D₁C的中点．
（I）证明：直线ME∥平面ADD₁A₁；
（II）求二面角A-D₁E-C的大小．

Answer

（Ⅰ）当E为AB的中点时，ME∥平面ADD1A1．取DD1的中点N，连接MN、AN、ME，证明 ME∥AN，即可证明ME∥平面AD1．
（Ⅱ）当E为AB的中点时，结合二面角A-D1E-C的大小为二面角A-D1E-D与二面角D-D1E-C大小的和，只需求二面角A-D1E-D的大小即可；过A点作AF⊥DE交DE于F，过F作FH⊥D1E于H，连接AH，则∠AHF即为二面角A-D1E-D的平面角，通过AH•D1E=AE•AD1然后求出sin∠AHF，即可求出二面角A-D1E-C的大小．
证明：（Ⅰ）当E为AB的中点时，ME∥平面ADD1A1．
证明：取DD1的中点N，连接MN、AN、ME，
MN∥CD，AE∥CD，
∴四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN
∵AN在平面AD1内
∴ME∥平面AD1．
（Ⅱ）当E为AB的中点时，DE=，CE=，又CD=2，
可知∠DEC=90°，所以DE⊥CE，平面CED1⊥平面DD1E，
所以二面角D-D1E-C的大小为；
又二面角A-D1E-C的大小为二面角A-D1E-D与二面角D-D1E-C大小的和，
只需求二面角A-D1E-D的大小即可；
过A点作AF⊥DE交DE于F，则AF⊥平面DD1E，AF=，
过F作FH⊥D1E于H，连接AH，
则∠AHF即为二面角A-D1E-D的平面角，
在Rt△AED1中，又AH•D1E=AE•AD1，
∴AH====，
∴sin∠AHF===，
所以二面角A-D1E-C的大小为．