Question

设函数f（x）=x³-（1+a）x²+4ax+24a，其中常数a≥1
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）是否存在实数a≥1，使得对任意x≥0，都有f（x）＞0成立？若存在，求出a的所有可能取值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函数的单调区间，本题需讨论a与1的关系；（II）先将问题转化为求函数f（x）在[0，+∞）上的最小值大于零问题，再利用（I）中结论列不等式求a的范围即可
【解析】
（I）由题意可知f′（x）=x2-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）
（1）当a=1时，此时f′（x）=（x-2）2≥0，所以原函数f（x）在R上为增函数
（2）当a＞1时，此时由f′（x）＞0可得x＞2a或x＜2
所以原函数f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上为增函数，在（2，2a）上为减函数
综合可知当a=1时原函数f（x）在R上为增函数，当a＞1时原函数f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上为增函数，在（2，2a）上为减函数
（II）存在．由题意可知只要f（x）在区间（0，+∞）上的最小值大于0即可．
（1）当a=1时，函数f（x）在R上为增函数，所以只需f（0）＞0即可，显然符合
（2）当a＞1时因为函数f（x）在[0，2）和（2a，+∞）上为增函数，在（2，2a）上为减函数
所以此时只需代入解得0＜a＜6
所以1＜a＜6
综合（1）（2）可知1≤a＜6