Question

在斜三棱柱ABC-A′B′C′中，底面△ABC为正三角形，设AA′：AC=λ．顶点A′在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，P为侧棱CC′中点，G为△PA′B′的重心．
（Ⅰ）求证：OG∥平面AA′B′B；
（Ⅱ）当λ=时，求证：平面A′B′P⊥平面BB′C′C；
（Ⅲ）当λ=1时，求二面角C-A′B-P的大小．

Answer

（Ⅰ）欲证OG∥平面AA′B′B，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OG与平面AA′B′B内一直线平行，分别取AB，A′B′的中点D，D′若证出OG∥DD′则可证明 OG∥平面AA′B′B 
（Ⅱ）连AO并延长交BC于点E，则E为BC的中点，取B′C′的中点E′，．BC⊥平面AA′E′E，．设PB′∩EE′=Q 本题应证明 BC⊥A′Q，且A′Q⊥QE′．
（Ⅲ） 取A′B的中点M，连CM，B′M，则CM⊥A′B，B′M⊥A′B．则∠B′MC为二面角B′-A′B-C的平面角，取BB′的中点R，连PR，A′R．则平面A′PR⊥平面A′BB′．
过P作PQ⊥A′R，则PQ⊥平面A′BB′．过P作PN⊥A′B于N，连QN，则QN⊥A′B．则∠PNQ为二面角B′-A′B-P的平面角，将二面角C-A′B-P转化为二面角B′-A′B-C与二面角B′-A′B-P的差，结合两角差的余弦求其余弦，再求其大小．
【解析】
（Ⅰ）证明：分别取AB，A′B′的中点D，D′，连CD，PD′，

∵O为△ABC的中心，G为△PA′B′的重心，
∴O∈CD，G∈PD′，且CO：OD=PG：GD′=2：1．
∵AA′B′B为□，AD=DB，A′D′=D′B′，∴DD′∥AA′，
又∵AA′∥CC′，∴DD′∥CC′，即DD′∥CP．
又CO：OD=PG：GD′=2：1，∴OG∥DD′，
∵OG∉平面AA′B′B，DD′⊂平面AA′B′B．
∴OG∥平面AA′B′B．
（Ⅱ）证明当λ=时，不妨设AA′=2，AC=2，由点A′在平面ABC上的射影为△ABC的中心，连AO并延长交BC于点E，则E为BC的中点，取B′C′的中点E′，连EE′，AA′∥EE′∥CC′．∵A′O⊥平面ABC，∴A′O⊥BC．∵O为△ABC中心，∴AE⊥BC．∴BC⊥平面AA′E′E．设PB′∩EE′=Q，∴BC⊥A′Q，且E′Q=CP=AA′=．∵AO=AC⋅=．AA′=2，∴cos∠A′AO==，∴cos∠A′E′E=．在△A′E′Q中，A′E′=，E′Q=，
cos∠A′E′E=，∴A′Q2=A′E′2+E′Q2-2A′E′⋅E′Q⋅cos∠A′E′E=．∵A′Q2+E′Q2=A′E′2，
∴A′Q⊥QE′，∵QE′与BC相交，∴A′Q⊥平面BB′C′C，∵A′Q⊂平面A′B′P，∴平面A′B′P⊥平面BB′C′C．
（Ⅲ）当λ=1时，不妨设AA′=AC=2，∵点A′在平面ABC上的射影为△ABC的中心，∴A′A=A′B=A′C．∴△A′BC，△A′BB′都为等边三角形．

取A′B的中点M，连CM，B′M，则CM⊥A′B，B′M⊥A′B．
∴∠B′MC为二面角B′-A′B-C的平面角，
在△B′CM中，B′M=CM=，B′C=2，∴cos∠B′MC=-．
取BB′的中点R，连PR，A′R．则平面A′PR⊥平面A′BB′．
过P作PQ⊥A′R，则PQ⊥平面A′BB′．
过P作PN⊥A′B于N，连QN，则QN⊥A′B．
∴∠PNQ为二面角B′-A′B-P的平面角，
在△A′PB中，求得PN=，
在△A′PR中，求得PQ=．∴sin∠PNQ==．
∵二面角C-A′B-P等于二面角B′-A′B-C与二面角B′-A′B-P的差，
设二面角C-A′B-P的大小为θ，
则cosθ=cos（∠B′MC-∠PNQ）=cos∠B′MC⋅cos∠PNQ+sin∠B′MC⋅sin∠PNQ
=-⋅+⋅=．
∴二面角C-A′B-P的大小为arccos．