Question

定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10^x．
（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；
（Ⅲ）证明：g（x₁）+g（x₂）≥2g（）；
*（Ⅳ）试用f（x₁），f（x₂），g（x₁），g（x₂）表示f（x₁-x₂）与g（x₁+x₂）．

Answer

（Ⅰ）由题意可得：f（x）+g（x）=10x，再根据函数的奇偶性可得：f（-x）+g（-x）=10-x=-f（x）+g（x），进而结合两个式子求出两个函数的解析式．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=（10x-），即可得到：10x=y±，再根据指数函数的性质可得：x=lg（y+），进而得到f（x）的反函数．
（Ⅲ）由（I）可得：2g（）与g（x1）+g（x2）的表达式，再利用基本不等式把g（x1）+g（x2）进行化简整理即可得到答案．
（Ⅳ）由（I）可得f（x1）、f（x2）、g（x1）、g（x2）、f（x1-x2）与g（x1+x2）的表达式与结构特征，进而得到f（x1-x2）=f（x1）g（x2）-g（x1）f（x2），g（x1+x2）=g（x1）g（x2）-f（x1）f（x2）．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得：f（x）+g（x）=10x ①，
∴f（-x）+g（-x）=10-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴-f（x）+g（x）=10-x ②，
由①，②解得：f（x）=（10x-），g（x）=（10x+）．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=（10x-），
∴（10x）2-2y⋅10x-1=0，解得10x=y±，
∵10x＞0，
∴10x=y+，
∴x=lg（y+），
∴f（x）的反函数为f-1（x）=lg（x+）．x∈R．
（Ⅲ）证明：由（I）可得：2g（）=+；
并且得到g（x1）+g（x2）=（+）+（+）=（+）+（）
≥+=+=2g（）；
∴g（x1）+g（x2）≥2g（）．
（Ⅳ）由（I）可得：f（x1-x2）=f（x1）g（x2）-g（x1）f（x2），g（x1+x2）=g（x1）g（x2）-f（x1）f（x2）．