Question

设椭圆C：+=1的左焦点为F，左准线为l，一条直线过点F与椭圆C交于A，B两点，若直线l上存在点P，使△ABP为等边三角形，求直线AB的方程．

Answer

设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|=（|AA1|+|BB1|）=（+）=|AB|，又因为△PAB为等边三角形⇔|PM|=|AB|，所以=，cos∠PMM1=，由此能求出AB的方程．
【解析】
如图，∵F（-，0），l：x=-2，离心率e=．设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|=（|AA1|+|BB1|）=（+）=|AB|，又因为△PAB为等边三角形⇔|PM|=|AB|，所以=，

即cos∠PMM1=，
∴sin∠PMM1=，tam∠PMM1=，
又kPM=±tam∠PMM1=±
∵AB⊥PM，∴kAB=-=±，
又AB过点F（-，0），所以AB的方程为y=±（x+）．
即直线AB的方程为：，或．