Question

已知正项数列{ a_n }满足S_n+S_n-1=+2 （n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数列{ a_n }的前n项和．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N^*都成立．求证：0＜t≤1．

Answer

（Ⅰ）由a1=1，S2+S1=+2，得a2=，所以a2=，an+an-1=t（-）（n≥3），（an+an-1）[1-t（an-an-1）]=0，所以an-an-1=（n≥3），由此能求出an．
（Ⅱ）由T1=1＜2，Tn=t++++…+=t+t2（1-）=t+t2，知要使Tn＜2，对所有的n∈N*恒成立，只要Tn=t+t2＜t+t2≤2成立，由此能够证明：0＜t≤1．
（Ⅰ）【解析】
∵a1=1，由S2+S1=+2，
得a2=，∴a2=0（舍）或a2=，
Sn+Sn-1=+2，①
Sn-1+Sn-2=+2 （n≥3）②
①-②得an+an-1=t（-）（n≥3），
（an+an-1）[1-t（an-an-1）]=0，
由数列{ an }为正项数列，
∴an+an-1≠0，故an-an-1=（n≥3），
即数列{ an }从第二项开始是公差为的等差数列．
∴an=
（Ⅱ）证明：∵T1=1＜2，当n≥2时，
Tn=t++++…+
=t+t2（1-）
=t+t2．
要使Tn＜2，对所有的n∈N*恒成立，
只要Tn=t+t2＜t+t2≤2成立，
∴0＜t≤1．