Question

已知函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+c，其图象在y轴上的截距为-5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x=0，x=2时取得极小值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f（x）的图象关于此直线对称，并证明你的结论；
*（Ⅲ）设使关于x的方程f（x）=λ²x²-5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A，且两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用函数在y轴上的截距为-5，可求得c=-5．根据函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，可得x=1时取得极大值，当x=0，x=2时函数f（x）取得极小值．可知x=0，x=1，x=2为函数f（x）的三个极值点，
从而f'（x）=0的三个根为0，1，2，∴由此可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）假设存在对称轴方程为x=t，则f（t+x）=f（t-x）对x∈R恒成立．代入化简得（t-1）x3+（ t3-3 t2+2t）x=0对x∈R恒成立，从而可出对称轴x=1．
（Ⅲ）x4-4x3+4x2-5=λ2x2-5恰好有三个不同的根，等价于x4-4x3+4x2-λ2x2=0恰好有三个不同的根，由于x=0是一个根，所以方程x2-4x+4-λ2=0应有两个非零的不相等的实数根，从而可求λ的取值范围．要使m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立，可转化为m2+tm+2≤0对任意t∈[-3，3]恒成立，构造函数g（t）=tm+m2+2，只要，从而可知不存在实数m，使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．
【解析】
（Ⅰ）∵函数f（x）=x4+ax3+bx2+c，在y轴上的截距为-5，∴c=-5．
∵函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴x=1时取得极大值，又当x=0，x=2时函数f（x）取得极小值．
∴x=0，x=1，x=2为函数f（x）的三个极值点，
即f'（x）=0的三个根为0，1，2，∴f'（x）=4x3+3ax2+2bx=4x（x-1）（x-2））=4x3-12x2+8x．
∴a=-4，b=4，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=x4-4x3+4x2-5．
（Ⅱ）若函数f（x）存在垂直于x轴的对称轴，设对称轴方程为x=t，
则f（t+x）=f（t-x）对x∈R恒成立．
即：（t+x）4-4（t+x）3+4（t+x）2-5=（t-x）4-4（t-x）3+4（t-x）2-5．
化简得（t-1）x3+（t3-3t2+2t）x=0对x∈R恒成立．
∴∴t=1．
即函数f（x）存在垂直于x轴的对称轴x=1．
（Ⅲ）x4-4x3+4x2-5=λ2x2-5恰好有三个不同的根，即x4-4x3+4x2-λ2x2=0恰好有三个不同的根，
即x2（x2-4x+4-λ2）=0，
∵x=0是一个根，
∴方程x2-4x+4-λ2=0应有两个非零的不相等的实数根，
∴△=16-4（4-λ2）=4λ2＞0，且x1x2=4-λ2≠0，∴λ≠0，-2，2．
若存在实数m，使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．
∵|x1-x2|==2|λ|＞0，
要使m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立，只要m2+tm+2≤0对任意t∈[-3，3]恒成立，
令g（t）=tm+m2+2，则g（t）是关于t的线性函数．
∴只要解得，无解
∴不存在实数m，使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．