Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b；等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，其中a，b∈N₊，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意n∈N^*，总存在m∈N^*，使a_m+3=b_n，求b的值；
（Ⅲ）甲说：一定存在b使得对n∈N^*恒成立；乙说：一定存在b使得对n∈N^*恒成立．你认为他们的说法是否正确？为什么？

Answer

（Ⅰ）由a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N*，知由此能求出a的值．
（Ⅱ）am=2+（m-1）b，bn=b•2n-1，由am+3=bn得5+（m-1）b=b•2n-1．由此能求出b的值．
（Ⅲ）若甲正确，则22+（n-1）（b-2）＞b2对n∈N*恒成立，当n=1时，22＞b2，无解，所以甲所说不正确．若乙正确，则22+（n-1）（b-2）＜b2对n∈N*恒成立，当n=2时，2b＜b2，只有在b=3时成立，而当n=3时24＜32不成立，所以乙所说也不成立．
【解析】
（Ⅰ）∵a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N*，
∴
∴
∴
∴，
∴a=2或a=3．
∵当a=3时，
由ab＜a+2b得b＜a，
即b1＜a1，
与a1＜b1矛盾，
故a=3不合题意．
∴a=3舍去，
∴a=2．
（Ⅱ）am=2+（m-1）b，
bn=b•2n-1，
由am+3=bn，
可得5+（m-1）b=b•2n-1．
∴b（2n-1-m+1）=5．
∴b是5的约数，
又b≥3，
∴b=5．
（Ⅲ）若甲正确，
则存在b（b≥3），
使22+（n-1）b＞b2•22n-2，
即22+（n-1）（b-2）＞b2对n∈N*恒成立，
当n=1时，
22＞b2，无解，
所以甲所说不正确．
若乙正确，
则存在b（b≥3），
使22+（n-1）b＜b2•22n-2，
即22+（n-1）（b-2）＜b2对n∈N*恒成立，
当n=2时，
2b＜b2，
只有在b=3时成立，
而当n=3时24＜32不成立，
所以乙所说也不成立．