Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有，当a₃=5时，a₁的最小值为    ；当a₁=1时，S₁+S₂+…+S₂₀=    ．

Answer

【解析】
由题设知，当a3=5时，，解得，或a1=5×2m+k，因为{an}的各项均为正整数，m，k∈正整数，所以k=2时，a1有最小值．
当a1=1时，a2=3×1+5=8，，a4=3×1+5=8，，…，所以{an}是周期为2的周期数列，
它的奇数项是1，偶数项是8，由此能求出S1+S2+…+S20．
【解析】
∵数列{an}的各项均为正整数，
，
当a3=5时，
，
∴a2=5×2k=3×a1+5，或a2=5×2k=，
∴，或a1=5×2m+k，
∵{an}的各项均为正整数，m，k∈正整数，
∴k=2时，a1有最小值．
当a1=1时，
a2=3×1+5=8，
，
a4=3×1+5=8，
，
…
∴{an}是周期为2的周期数列，
它的奇数项是1，偶数项是8，
∴S1+S2+…+S20=1+（1+8）+（1×2+8）+（1×2+8×2）+（1×3+8×2）+（1×3+8×3）+…+（1×10+8×9）+（1×10+8×10）=910．
故答案为：5，910．