Question

如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；
（Ⅲ）求四面体BDEF的体积．

Answer

（Ⅰ）欲证AC⊥平面BDE，只需证明AC垂直平面BDE中的两条相交直线即可，因为AC与BD是正方形ABCD的对角线，所以AC⊥BD，再正DE垂直AC所在的平面，得到AC垂直DE，而BD，DE是平面BDE中的两条相交直线，问题得证．
（Ⅱ）欲证AC∥平面BEF，只需证明AC平行平面BEF中的一条直线即可，利用中位线的性质证明OG平行DE且等于DE的一半，根据已知AF平行DE且等于DE的一半，所以OG与AF平行且相等，就可得到AC平行FG，而FG为平面BEF中的一条直线，问题得证．
（Ⅲ）四面体BDEF可以看做以△DEF为底面，以点B为顶点的三棱锥，底面三角形DEF的底边DE=2，高DA=2，三棱锥的高为AB，长度等于2，再代入三棱锥的体积公式即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，∠ADE=90°，
∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∴AC⊥平面BDE
（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，∵OG为△BDE的中位线
∴OG
∵AF∥DE，DE=2AF，∴AFOG，
∴四边形AFGO是平行四边形，
∴FG∥AO．
∵FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．（Ⅲ）∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF．
∵AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2，
∴△DEF的面积为，
∴四面体BDEF的体积==．