Question

已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a₁+2a₂=3a₃．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{b_n}是首项为2，公差为q的等差数列，其前n项和为T_n．当n≥2时，试比较b_n与T_n的大小．

Answer

（Ⅰ）由已知可得a1+2a1q=3a1q2，因为{an}是等比数列，所以3q2-2q-1=0．由此能求出q的值．
（Ⅱ）当q=1时，bn=n+1，，．故当q=1时，Tn＞bn（n≥2）．当时，，，，由此分类讨论能比较bn与Tn的大小．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得a1+2a1q=3a1q2，…（2分）
因为{an}是等比数列，所以3q2-2q-1=0．…（3分）
解得q=1或．…（5分）
（Ⅱ）①当q=1时，bn=n+1，
，…（7分）
所以，当n≥2时，．
即当q=1时，Tn＞bn（n≥2）．…（8分）
②当时，，…（9分）
，…（10分）
，…（12分）
所以，当n＞14时，Tn＜bn；
当n=14时，Tn=bn；
当2≤n＜14时，Tn＞bn．…（13分）
综上，当q=1时，Tn＞bn（n≥2）．
当时，若n＞14，Tn＜bn；
若n=14，Tn=bn；
若2≤n＜14，Tn＞bn．