Question

已知圆C经过点A（-2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若，求实数k的值；

Answer

（1）圆心在直线y=x上，设圆C（a，a）半径r，|AC|=|BC|=r，求得a，r，得到圆C的方程．
（2）可求得∠POQ，进而求出圆心到直l：kx-y+1=0的距离，再去求k．
【解析】
（I）设圆C（a，a）半径r．因为圆经过A（-2，0），B（0，2）
所以：|AC|=|BC|=r，解得a=0，r=2，
所以C的方程x2+y2=4．
（II）方法一：
因为，，
所以，，∠POQ=120°，
所以圆心到直l：kx-y+1=0的距离d=1，，所以 k=0．
方法二：P（x1，y1），Q（x2，y2），因，代入消元（1+k2）x2+2kx-3=0．
由题意得△=4k2-4（1+k2）（-3）＞0且和
因为，
又y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
所以，
化简得：-5k2-3+3（k2+1）=0，
所以：k2=0即k=0．