Question

设离心率为e的双曲线C：的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是（ ）
A．k²-e²＞1
B．k²-e²＜1
C．e²-k²＞1
D．e²-k²＜1

Answer

设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：（b2-a2k2）x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0，方程有两根，x1•x2=（-a2k2c2-a2b2）÷（b2-a2k2）＜0，因-a2k2c2-a2b2必定小于0，故只需：b2-a2k2＞0即可，由此能求出结果．
【解析】
由题意可设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：
（b2-a2k2）x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0，方程有两根，可设为x1＞0，x2＜0：
x1•x2=（-a2k2c2-a2b2）÷（b2-a2k2）＜0，
因-a2k2c2-a2b2必定小于0，故只需：b2-a2k2＞0即可，
b2-a2k2=c2-a2-a2k2=a2e2-a2-a2k2=a2（e2-1-k2）＞0
e2-1-k2＞0，
e2-k2＞1．
故选c．