Question

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，且a₁=1，na_n+1=（n+2）s_n （n∈N^*）．
（1）求证：数列{}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式及前n项和s_n；
（3）若数列{b_n}满足：b₁=，= （n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）通过将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=（n+2）Sn；即可推出数列{}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）利用（1）的结论求出数列{an}的通项公式及前n项和sn；
（3）若数列{bn}满足：b1=，= （n∈N*），推出得=2n-1，利用累加法直接求解数列{bn}的通项公式．
【解析】
（1）证明：将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=（n+2）Sn；
整理得 （n∈N•）．
又由已知=1，
所以数列{}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）的结论可得=2n-1，∴Sn=n•2n-1
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=n•2n-1-（n-1）•2n-2=（n+1）•2n-2
由已知，a1=1，又当n=1时，（n+1）•2n-2=1，
∴an=（n+1）•2n-1（n∈N*）．
（3）由=（n∈N*）．
得=2n-1，
由此式可得，
，
…
，

把以上各等式相加得，
=（n∈N*，n≥2）．
所以bn=（n∈N*，n≥2）．
当n=1时也符合，所以bn=．